Introducción a los modelos de regresión y series de Tiempo

Contenido del curso

• Concepto y definición de series de tiempo
• Características y componentes de las series de tiempo
• Diferencias entre datos transversales y series de tiempo
• Aplicaciones de las series de tiempo en diferentes campos
• Panorama general de los modelos de series de tiempo

Concepto y definición de series de tiempo

• Las series de tiempo son comunes en diversas disciplinas, incluyendo economía, finanzas, meteorología, ingeniería y ciencias sociales.

• Formalmente \(Y_t : \{y_1, y_2, \dots , y_T\}\) donde conocemos los valores de la serie hasta \(T\).

¿Por qué estudiar series de tiempo?

• El objetivo principal del análisis de series de tiempo es modelar la estructura temporal de los datos para entender su comportamiento y hacer pronósticos futuros, clave para una planificación eficaz y eficiente.

• Según Hyndman y Athanasopoulos (2021) las condiciones para estudiar las series de tiempo con fines de pronóstico son:

  • Qué tanto entendemos los factores que mueven la serie
  • Cuánta información tenemos sobre la serie
  • Qué tanto se parece el futuro al pasado
  • Si los pronósticos pueden afectar aquello que intentamos pronosticar. (expectativas)

• Aplicaciones prácticas en diversos campos:

  • Finanzas: precios de acciones, tasas de interés.
  • Economía: PIB, inflación, desempleo.
  • Meteorología: temperaturas, precipitaciones.
  • Salud pública: tasas de enfermedades, hospitalizaciones.
  • Industria: control de calidad, mantenimiento predictivo.

Tipos de datos en series de tiempo

• Datos de alta frecuencia: datos recogidos en intervalos muy cortos (segundos, minutos).
• Datos de baja frecuencia: datos recogidos en intervalos más largos (días, meses, años).
• Datos estacionarios: propiedades estadísticas constantes en el tiempo (media, varianza).
• Datos no estacionarios: propiedades estadísticas que cambian con el tiempo (tendencias, estacionalidad).

Graficar del PIB de Colombia (1960-2024) Python

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import wbgapi as wb

data = wb.data.DataFrame(series= 'NY.GDP.MKTP.CD', economy = 'COL', time=range(1960, 2024), columns='series').reset_index()
data.columns = ['Año', 'PIB (US$ a precios actuales)']

data.plot(x='Año', y='PIB (US$ a precios actuales)', kind='line', marker='o', color='steelblue')
plt.title('Producto Interno Bruto (PIB) de Colombia (1960-2024)')
plt.xlabel('Año')
plt.ylabel('PIB en dólares estadounidenses')
plt.grid()
plt.show()

Graficar del PIB de Colombia (1960-2024) R

library(wbstats)
library(ggplot2)

# Descargar datos de la serie de tiempo
data <- wb_data(indicator = 'NY.GDP.MKTP.CD', country = 'COL', start_date = 1960, end_date = 2024)
data <- data[, c('date', 'NY.GDP.MKTP.CD')]
colnames(data) <- c('Año', 'PIB')

# Crear el gráfico de línea
ggplot(data, aes(x = Año, y = PIB)) +
  geom_line(color = 'steelblue') +
  geom_point(color = 'steelblue') +
  labs(title = 'Producto Interno Bruto (PIB) de Colombia (1960-2024)',
       x = 'Año',
       y = 'PIB en dólares estadounidenses') +
       theme_bw()

Características y componentes de las series de tiempo

• La forma como se relacionan estos componentes determina la estructura de la serie de tiempo y guía la elección de modelos adecuados para su análisis.
• Tenemos una forma general para representar una serie de tiempo:
• Aditiva: \(Y_t = T_t + S_t + C_t + e_t\)
• Multiplicativa: \(Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times e_t\) en términos logarítmicos se convierte en aditiva.
• Donde \(T_t\) es la tendencia, \(S_t\) es la estacionalidad, \(C_t\) son los ciclos y \(e_t\) es el ruido.

Estacionalidad en series de tiempo

• La estacionalidad es un patrón que se repite en intervalos regulares dentro de una serie de tiempo.
• Ejemplos comunes de estacionalidad incluyen:
  • Ventas minoristas que aumentan durante la temporada navideña.
  • Aumento de la demanda de energía durante los meses de verano o invierno.
  • Fluctuaciones en la agricultura debido a las estaciones del año.
• La estacionalidad puede ser diaria, semanal, mensual o anual, dependiendo del contexto de la serie de tiempo.

Ejemplos de series de tiempo con diferentes comportamiento temporal

Media móvil para estimar tendencia

• Se calcula promediando los valores de la serie en una ventana móvil de tamaño fijo.
• Fórmula de la media móvil simple (SMA) de orden \(k\):
• \(SMA_t = \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} Y_{t-i}\)
• Donde \(SMA_t\) es el valor de la media móvil en el tiempo \(t\), \(Y_{t-i}\) son los valores de la serie en los últimos \(k\) períodos.

Ejemplo de media móvil en Python

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import yfinance as yf

# Descargar datos de la serie de tiempo
df = yf.download('AAPL', start='2010-01-01', end='2024-12-31', progress=False)
df = df['Close']
df.index = pd.to_datetime(df.index)

# Calcular medias móviles
df['Media_movil_k3'] = df['AAPL'].rolling(window=3).mean()
df['Media_movil_k5'] = df['AAPL'].rolling(window=5).mean()
df['Media_movil_k15'] = df['AAPL'].rolling(window=15).mean()

# Graficar la serie original y las medias móviles
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df.index, df['AAPL'], label='Precio de cierre', color='blue')
plt.plot(df.index, df['Media_movil_k3'], label='Media móvil k=3', color='red')
plt.plot(df.index, df['Media_movil_k5'], label='Media móvil k=5', color='green')
plt.plot(df.index, df['Media_movil_k15'], label='Media móvil k=15', color='purple')
plt.title('Media Móvil de Apple (AAPL)')
plt.xlabel('Fecha')
plt.ylabel('Precio de cierre (USD)')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

Ejemplo de media móvil en R

library(tidyquant)
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(zoo)
# Descargar datos de la serie de tiempo
apple_data <- tq_get("AAPL", from = "2010-01-01", to = "2024-12-31")
# Calcular medias móviles
apple_data <- apple_data %>%
  arrange(date) %>%
  mutate(Media_movil_k3 = rollmean(adjusted, k = 3, fill = NA, align = "right"),
         Media_movil_k5 = rollmean(adjusted, k = 5, fill = NA, align = "right"),
         Media_movil_k15 = rollmean(adjusted, k = 15, fill = NA, align = "right"))

# Graficar la serie original y las medias móviles
ggplot(apple_data, aes(x = date)) +
  geom_line(aes(y = adjusted, color = "Precio de cierre")) +
  geom_line(aes(y = Media_movil_k3, color = "Media móvil k=3")) +
  geom_line(aes(y = Media_movil_k5, color = "Media móvil k=5")) +
  geom_line(aes(y = Media_movil_k15, color = "Media móvil k=15")) +
  labs(title = "Media Móvil de Apple (AAPL)",
       x = "Fecha",
       y = "Precio de cierre (USD)") +
  scale_color_manual(values = c("Precio de cierre" = "blue",
                                  "Media móvil k=3" = "red",
                                  "Media móvil k=5" = "green",
                                  "Media móvil k=15" = "purple")) +
  theme_bw()

Métodos para descomponer series de tiempo

• Descomposición clásica: separa la serie en sus componentes aditivos o multiplicativos utilizando medias móviles.
• STL (Seasonal and Trend decomposition using Loess): método robusto que utiliza regresión local para estimar tendencia y estacionalidad.
• X-12-ARIMA: desarrollado por la Oficina del Censo de EE.UU., combina modelos ARIMA con descomposición estacional.
• SEATS (Signal Extraction in ARIMA Time Series): desarrollado por el Banco de España, utiliza modelos ARIMA para extraer componentes de la serie.

Descomposición clásica de series de tiempo aditivas

• La descomposición clásica de una serie \(Y_t\) implica los siguientes pasos:
  • Estimar la tendencia utilizando una media móvil. \(T_t = SMA_k(Y_t)\)
  • Calcular la serie sin tendencia restando la tendencia de la serie original. \(Y_t - T_t\)
  • Estimar la estacionalidad \(S_t\) promedia los valores sin tendencia para cada período estacional (meses, trimestres, etc.).
  • Calcular los residuos restando la tendencia y la estacionalidad de la serie original. \(e_t = Y_t - T_t - S_t\)

Descomposición clásica de series de tiempo multiplicativas

• La descomposición clásica multiplicativa de una serie \(Y_t\) implica los siguientes pasos:
  • Estimar la tendencia utilizando una media móvil. \(T_t = SMA_k(Y_t)\)
  • Calcular la serie sin tendencia dividiendo la serie original por la tendencia. \(Y_t / T_t\)
  • Estimar la estacionalidad \(S_t\) promedia los valores sin tendencia para cada período estacional (meses, trimestres, etc.).
  • Calcular los residuos dividiendo la serie original por la tendencia y la estacionalidad. \(e_t = Y_t / (T_t \times S_t)\)

Ejemplo práctico de descomposición de series de tiempo

• Utilizaremos datos históricos de precios de acciones de Apple (AAPL) desde 2010 hasta 2024 para ilustrar la descomposición de una serie de tiempo en sus componentes principales: tendencia, estacionalidad y ruido.

Ejemplo descomposición de la serie de tiempo python

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import yfinance as yf
from statsmodels.tsa.seasonal import STL

# Descargar datos de la serie de tiempo
apple_data = yf.download('AAPL', start='2010-01-01', end='2024-12-31', progress=False)
apple_close = apple_data['Close']
apple_close.index = pd.to_datetime(apple_close.index)

# Descomponer la serie de tiempo
stl = STL(apple_close, period=252)  # Asumiendo 252 días hábiles en un año
result = stl.fit()

# Preparar datos para graficar
list_data = {'Original': apple_close, 'Tendencia': result.trend, 'Estacionalidad': result.seasonal, 'Residuos': result.resid}
colors = ['blue', 'orange', 'green', 'red']

# Graficar la descomposición
fig, axes = plt.subplots(4, 1, sharex=True, figsize=(12, 8))
for i, (key, value) in enumerate(list_data.items()):
    axes[i].plot(value, label=key, color=colors[i])
    axes[i].legend(loc='upper left')
plt.xlabel('Fecha')
plt.show()

Ejemplo descomposición de la serie de tiempo R

library(tidyquant)
library(ggplot2)
library(forecast)
# Descargar datos de la serie de tiempo
apple_data <- tq_get("AAPL", from = "2010-01-01", to = "2024-12-31")
apple_close <- apple_data$adjusted
date_index <- apple_data$date
# Descomponer la serie de tiempo
ts_apple <- ts(apple_close, frequency = 252, start = min(date_index))  # Asumiendo 252 días hábiles en un año
decomp <- stl(ts_apple, s.window = "periodic")

# Graficar la descomposición
autoplot(decomp)

Introducción a los modelos de regresión

• La regresión es una herramienta que permite estimar la media condicional a una o más variables de una variable dependiente (\(Y\)) dado un conjunto de otras variables llamadas regresoras, variables condicionales o covariables (\(X\)).

• Tenemos \(n\) obervaciones de una variable de interés \(Y\) y un set de \(k\) covariables \(X_{1}, X_{2}, ..., X_{k}\). El modelo lineal para \(Y\) será:

\[ E(Y|\mathbf{X}) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k + \varepsilon \]

Donde:

• \(E(Y|\mathbf{X})\) es el valor esperado de \(Y\) dado el conjunto de covariables \(\mathbf{X}\)
• \(\beta_k\) estima el cambio promedio esperado en \(Y\) ante cambios en \(X_k\)
• \(\beta_0\) es el intercepto de la regresión
• \(\varepsilon\) errores de estimación

Esquema visual de una regresión lineal

# | echo: false
# fig-cap: "Ejemplo de regresión lineal simple"
set.seed(123)
x <- rnorm(100, mean = 50, sd = 10)
y <- 2 * x + rnorm(100, mean = 0, sd = 10) + rnorm(100)
plot(x, y, main = "Ejemplo de Regresión Lineal", xlab = "Variable Independiente (X)", ylab = "Variable Dependiente (Y)")
abline(lm(y ~ x), col = "blue")

Diferentes tipos de covariables, diferente significado de \(\beta_k\)

• Si tanto \(Y\) como \(X\) son continuos \[\beta_k = \frac{\Delta Y}{\Delta X_k}\] \(\beta_k\) = El cambio promedio esperado en \(Y\) ante un cambio en \(X\)

• Si \(Y\) es númerica y \(X\) es dicotómica \[\beta_k = E(Y|X = 1) - E(Y|X = 0)\] \(\beta_K\) = Es la diferencia promedio esperada en \(Y\) cuando \(X = 1\) respecto a \(X = 0\)

Diferencias entre una regresión y una serie de tiempo

• Las regresiones se centran en modelar la relación entre variables, mientras que las series de tiempo se enfocan en analizar datos secuenciales a lo largo del tiempo.
• Las regresiones pueden utilizar datos transversales o de series de tiempo, pero las series de tiempo siempre implican una dimensión temporal.
• Las series de tiempo requieren considerar la autocorrelación y la estacionalidad, aspectos que no son relevantes en regresiones estándar.
• Las técnicas de modelado y análisis difieren entre ambos enfoques, con métodos específicos para cada uno.

Resumen de la sesión

• Las series de tiempo son secuencias de datos medidos en intervalos regulares a lo largo del tiempo, y pueden descomponerse en componentes como tendencia, estacionalidad, ciclos y ruido.
• La estacionalidad es un patrón recurrente en los datos que ocurre en intervalos regulares, y es importante identificarla para un análisis adecuado.
• La media móvil es una técnica útil para suavizar series de tiempo y estimar la tendencia subyacente.
• La descomposición de series de tiempo puede realizarse mediante métodos clásicos o avanzados como STL, X-12-ARIMA y SEATS.
• La regresión lineal es una herramienta estadística para modelar la relación entre una variable dependiente y una o más variables independientes.
• Las regresiones y las series de tiempo tienen enfoques y técnicas diferentes, aunque pueden complementarse en el análisis de datos temporales.

Actividad 1

• Descargar datos históricos de precios de acciones de Microsoft (MSFT) desde 2010 hasta 2024 utilizando la librería yfinance en Python o tq_get en R.
• Calcular y graficar la media móvil de 10 y 30 días para los precios de cierre.
• Descomponer la serie de tiempo utilizando el método STL y graficar los componentes resultantes: tendencia, estacionalidad y residuos.
• Interpretar los resultados obtenidos y discutir cómo la estacionalidad y la tendencia afectan los precios de las acciones de Microsoft.

Actividad 2

• Ir a la página web del Banco de la República de Colombia y descargar los datos históricos de la tasa de desempleo mensual desde 2000 hasta 2024.
• Utilizar Python o R para graficar la serie de tiempo de la tasa de desempleo.
• Aplicar una media móvil de 12 meses para suavizar la serie y estimar la tendencia.
• Descomponer la serie utilizando el método STL y analizar los componentes de tendencia, estacionalidad y residuos.
• Discutir las implicaciones de los patrones observados en la tasa de desempleo para la economía colombiana.